A020 - Conjunto dos Números Irracionais (I)

Números irracionais: presentes no
desenvolvimento da Matemática

A história dos números reais não é recente, eles foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas Matemáticas, um dos primeiros irracionais está diretamente ligado ao Teorema de Pitágoras, o número √2 (raiz quadrada de dois) surge da aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1 (uma) unidade.

Nessa época, o conhecimento permitia extrair somente a raiz de números que possuíam quadrados inteiros, por exemplo, 4² = 16, portando √16 = 4 e no caso de √2 não existia um número que, elevado ao quadrado, resultasse 2.

Outro irracional surgiu da relação entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, resultando um número constante igual a 3,141592....., representado pela letra grega π (lê-se pi).

O número de Ouro também é considerado irracional, através de pesquisase observações o Matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, estabeleceu a seguinte sequência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .... Essa sequência é formada obedecendo a uma montagem lógica, observe:

1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55

Note que o próximo número da sequência é formado através da soma entre o atual e seu sucessor. Nessa sequência numérica, o número irracional surge da divisão entre um elemento e seu antecessor, a partir do número 21, veja:

5 : 3 = 1,666666.....
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,6153846153846153846153846153846 ...
34 : 21 = 1,6190476190476190476190476190476 ...
55: 34 = 1,6176470588235294117647058823529 ...

John Napier, matemático que intensificou os estudos sobre logaritmos, desenvolveu uma expressão que, ao ser calculada, resulta em um número irracional:

O número irracional não admite representação na forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal é um número infinito e não periódico.

Exemplos

π = 3,141592653589793238462... no número pi, após a virgula, não existe formação de períodos, por isso é considerado irracional.

0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não formam períodos), então é irracional.

2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.

Se utilizarmos uma calculadora veremos que √2 , √3 , √5, √7, entre outros, são valores que representam números irracionais.

A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.


FONTE: http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-irracionais.htm