Inequações-Quociente

EXEMPLO 1:

Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos a função do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resolução da seguinte inequação quociente:



Resolver as funções y₁ = x + 1 e y₂ = 2x – 1, determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a <>1 = x + 1
x + 1 = 0
x = –1




y₂ = 2x – 1
2x – 1 = 0
2x = 1
x = 1/2




Com base no jogo de sinal concluímos que x assume os seguintes valores na inequação quociente:
S = { x e R / -1 <>





EXEMPLO 2:






Sem precisar traçar os gráficos, podemos esboçá-los, conhecendo as raízes e o crescimento de cada uma, olhando para o sinal do coeficiente de x.

A) coeficiente de x = -1 < raiz =" 2">

B) coeficiente de x = 2 > 0
Função crescente
Raiz =




Atenção: Não é o sinal da raiz que determina o crescimento ou decrescimento da função, mas o sinal do coeficiente de x. Esse é um erro bem comum! Cuidado!

Estudados os sinais, vamos ao quadro de sinais:




É importante notar: apesar de querermos os valores de x que tornam o quociente negativo ou nulo, não devemos incluir nunca na solução o valor de x que anula o denomidador da fração (a raiz da expressão do denominador), pois não existe fração com denominador nulo. Esse é outro erro comum!

Logo, a solução é





FONTE 1: http://www.brasilescola.com/matematica/inequacao-produto-e-quociente.htm
FONTE 2: http://educacao.uol.com.br/matematica/inequacao-produto-e-inequacao-quociente.jhtm

Inequações-Produto

EXEMPLO 1:

Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função. Observe a resolução da seguinte equação produto: (2x + 6)*( – 3x + 12) > 0.

Vamos estabelecer as seguintes funções: y₁ = 2x + 6 e y₂ = – 3x + 12.

Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a <>1 = 2x + 6
2x + 6 = 0
2x = – 6
x = –3

y₂ = – 3x + 12
–3x + 12 = 0
–3x = –12
x = 4

Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)*(– 3x + 12) > 0. Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.

Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto y1*y2, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de x:

S = { x e R / - 3 < x < 4}

EXEMPLO 2:

Ache o conjunto solução da equação produto abaixo:
(-3x + 6) (5x -7) < 0

1) -3x + 6< 0
- 3x < -6 x(-1)
3x > 6
x > 6/3
x > 2








2) 5x – 7 = 0
5x = 7
x = 7/5





Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:


Como a inequação quer valores que sejam menores que 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação será:

S = { x e R / x <> 2}



EXEMPLO 3:

x . (x – 1) (-x + 2) ≤ 0

x = 0


x – 1 = 0
x = 1


-x + 2 = 0
-x = -2
x = 2


Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:


Como a inequação quer valores que sejam menores ou iguais a 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação
x . (x – 1) (-x + 2) ≤ 0, será:

S = {x Є R / 0 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2}.


FONTE 1: http://www.brasilescola.com/matematica/inequacao-produto-1.htm
FONTE 2: http://www.brasilescola.com/matematica/inequacao-produto-e-quociente.htm
FONTE 3: http://educacao.uol.com.br/matematica/inequacao-produto-e-inequacao-quociente.jhtm

Função do 1º Grau (Vídeos 02)

Neste post você encontra uma teleaula em duas partes, produzidas pelo "Vestibulandia.com" sobre Função Afim.

FONTES:
Vídeo 1 - http://www.youtube.com/watch?v=pYqp-57y0D8
Vídeo 2 - http://www.youtube.com/watch?v=ktE0uuDMqyw

Função do 1º Grau (Parte 4)

Nessa quarta e última parte do conteúdo, veja como fazer o estudo do sinal de funções afins.

Função do 1º Grau (Parte 3)

Nessa terceira parte do conteúdo, aprenda a como determinar o zero de uma função do 1º grau, bem como definí-la em Função Crescente ou Função Decrescente.

Função do 1º Grau (Parte 2)

Nessa segunda parte do conteúdo, veja como construir o gráfico de uma função afim, que será sempre uma reta.

Função do 1º Grau (Vídeos 01)

Aqui estão vídeos produzidos pelo "Só Matemática" sobre Função do 1º Grau ou Função Afim.

FONTES:
Vídeo 1 - http://www.youtube.com/watch?v=3am7Lug5oJk
Vídeo 2 - http://www.youtube.com/watch?v=_CeYnbAkHhE

Função do 1º Grau (Parte 1)

Nessa primeira parte do conteúdo, uma breve introdução dando uma noção de função do 1º grau e, em seguida, a definição matemática e os coeficientes angular e linear.

V005 - Função Inversa

No vídeo a seguir,
assista a uma teleaula
sobre Função Inversa
e tire suas dúvidas
quanto ao assunto!!!

V004 - Função Composta

No vídeo a seguir,
assista a uma teleaula
sobre Função Composta
e tire suas dúvidas
quanto ao assunto!!!

A025 - Função Inversa

FUNÇÃO INVERSA

Para determinarmos se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f–1 da seguinte maneira: (x,y) Є f -1 ↔ (y,x) Є f.


Dado os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função A→B definida pela fórmula y = 2x – 1, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f ^-1: B→A definida pela fórmula x = (y-1)/2. Veja o diagrama abaixo:

Então: f ^-1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f ^-1 e vice e versa.

Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos.

Dada a função y = 3x – 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira:

1º passo: isolar x.
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5)/3

2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a letra x.

y = (x + 5)/3


Portanto, a função f(x) = 3x – 5 terá inversa igual a f ^–1 (x) = (x + 5)/3

Exemplos 1

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Isolando x:
y = x²
√y = x

Invertendo x por y e y por x:
y = √x

Portanto, f ^–1(x) = √x


Exemplo 2

Dada a função , a sua inversa será:

Nessa resolução iremos seguir o processo contrário, veja:

Trocando x por y e y por x:



Isolando y:

x (3y – 5) = 2y +3
3xy – 5x = 2y + 3
3xy – 2y = 3 + 5x
y (3x – 2) = 3 + 5x




Portanto, a função inversa da função será f ^-1(x) = .

A024 - Função Composta

FUNÇÃO COMPOSTA

A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por g o f.

Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5
g(4x) = (4x)² + 5
g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5



b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = 4x
f(x² + 5) = 4 * (x² + 5)
f(x² + 5) = 4x² + 20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20


Exemplo 2

Vamos determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1.


(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = 4x² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 15

(g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15



(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = x + 2
f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2
f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2
f(4x² – 1) = 4x² + 1

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1

A023 - Domínio de uma Função

As funções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de existência:

Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio.

Uma expressão y = f(x) associando os valores de x e y, formando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio.

Através de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada.

a)

Nesse caso o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática.
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≠ 1} = R – {1}.

b)

Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo.
4x – 6 ≥ 0
4x 6
x ≥ 6/4
x ≥ 3/2
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≥ 3/2}