A010 - Operações com Números Inteiros (Parte II)

Multiplicação de Números Inteiros

A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:

( + ) x ( + ) = ( + )
( + ) x ( – ) = ( – )
( – ) x ( + ) = ( – )
( – ) x ( – ) = ( + )

Vamos calcular o produto de:
(+ 8) x (+5) = + 40
(– 6) x (– 15) = + 90
(+5) x (– 2) = –10

FONTE: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/multiplicacao.htm


Divisão de Números Inteiros

Na divisão utilizamos praticamente o mesmo método da multiplicação. Devemos, em primeiro lugar, relembramos o jogo de sinais:
- Divisão de números com mesmo sinal = +
- Divisão de números com sinais diferentes = -


(- 45) : (+ 5) = - 9
(+45) : ( -5) = -9

(- 60) : (- 10) = + 6
(+ 60) : (+ 10) = + 6

FONTE: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/divisao.htm

A009 - Operações com Números Inteiros (Parte I)

Adição de Números Inteiros

Na soma de dois números inteiros com sinais iguais, o valor absoluto será a soma das parcelas, e o sinal será o mesmo das parcelas.

Exemplo: (+ 5) + (+ 4) = + 9
(- 5) + (- 4) = - 9

Na soma de dois números inteiros com sinais diferentes, o valor absoluto será a diferença das parcelas e o sinal será o da parcela de maior valor absoluto.

Exemplo: (- 5) + (+ 4) = - 1

A Soma de dois números inteiros opostos é ZERO.
Exemplo: (+ 10) + (- 10) = 0

Simplificando a escrita:

FONTE: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao.htm



Subtração de Números Inteiros

As operações de subtração envolvendo os números Inteiros requerem algumas situações teóricas que relacionam os possíveis sinais operatórios. Para realizar a subtração entre os números inteiros precisamos ter conhecimento sobre o módulo de um número. Módulo de um número inteiro é calculado obtendo o seu valor real. Observe:

Módulo de +1: representado por |+1| = 1
| – 3| = 3
| – 7| = 7

Regras operatórias:
Sinais iguais: soma e conserva o sinal.
Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo.

Operações sem parênteses

+ 10 – 7 = + 3 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)

– 3 – 3 = – 6 (Sinais iguais: soma e conserva o sinal)

+ 20 – 30 = – 10 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)

– 12 + 3 = – 9 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)

– 9 + 9 = 0 (operação entre números opostos, resultado sempre será 0)

– 25 + 24 = – 1 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)


Operações com parênteses

Nesse caso, as operações de subtração podem ser resolvidas eliminando os parênteses, isso será feito aplicando algumas regras que envolvem jogo de sinal, observe:

+ (+) = +
+ (–) = –
– (+) = –
– (–) = +

Eliminado os parênteses, passa a valer as regras operatórias:

(+10) – (–23) = +10 + 23 = + 33

(+20) – (+12) = +20 – 12 = + 8

(–32) + (–5) = – 32 – 5 = – 37

(–27) – (–30) = –27 + 30 = + 3


FONTE: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/subtracao.htm

A008 - Números Primos

Números primos e sua importância para a
Matemática

Na formação do conjunto dos números Naturais existe um tipo de numeral que possui a propriedade de ser divisível somente por um e por ele mesmo, recebendo a denominação de número primo. A descoberta dos números primos é imprescindível na Matemática, pois eles intitulam o princípio central na teoria dos números, consistindo no Teorema Fundamental da Aritmética. Esse Teorema satisfaz uma condição interessante no conjunto dos números naturais, ele afirma que todo número inteiro natural, sendo maior que 1, pode ser escrito como um produto de números primos, enfatizando a hipótese que o número 1 não pode ser considerado primo, pois ele tem apenas um divisor e não pode ser escrito na forma de produto de números primos.

Por meio da fatoração (decomposição dos números em fatores primos) conseguimos representar os números de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética. Vamos observar alguns exemplos onde os numerais serão escritos na forma fatorada.

8 = 2 x 2 x 2
9 = 3 x 3
10 = 2 x 5
27 = 3 x 3 x 3
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
50 = 2 x 5 x 5
28 = 2 x 2 x 7
110 = 2 x 5 x 11

Um matemático grego chamado Eratóstenes (285-194 a.C) criou um sistema simples e objetivo para descobrir números primos, que foi chamado de Crivo de Eratóstenes. Para representar a forma de utilizar o crivo, vamos considerar uma tabela com os números naturais de 1 a 100.

1º passo: localizar o primeiro número primo da tabela. (2)
2º passo: marcar todos os múltiplos desse número.
3º passo: localizar o segundo número primo (3) e marcar todos os seus múltiplos.
4º passo: Repetir a operação até o último número.

Na tabela dos 100 primeiros números naturais destacamos em azul os números primos, portanto os números primos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

FONTE: http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-primos.htm

A007 - Critérios de Divisibilidade

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade.

OBS.: Vale lembrar que nem todas essas regras foram mostradas em sala de aula. Mas aqui no blog coloquei todas as que eu encontrei, pra que vocês aprendam outros critérios!!!!

Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.


Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.

12:2 = 6
18:2 = 9
102:2 = 51
1024:2 = 512
10256:2 = 5128


Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo:

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12
60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6
81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18


Divisibilidade por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.


288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par.

144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par.

100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0.


Divisibilidade por 5
Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.

10:5 = 2
25:5 = 5
75:5 = 3
200:5 = 40


Divisibilidade por 6
Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.

42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14
54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44
570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190


Divisibilidade por 7
Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Exemplo:

203 : 7 = 29, pois 2 x 3 = 6 e 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 2 x 4 = 8 e 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 2 x 0 = 0 e 84 – 0 = 84


Divisibilidade por 8
Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8. Exemplo:

1000 : 8 = 125, pois termina em 000
1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8


Divisibilidade por 9
É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo:

90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9
1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27


Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 será divisível por 10

100:10 = 10
50:10 = 5
10:10 = 1
2000:10 = 200


Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.

1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66


Divisibilidade por 12
São os números divisíveis por 3 e 4.

276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69

672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168



FONTE: http://www.brasilescola.com/matematica/criterios-divisibilidade.htm


E aí??? Acharam interessantes essas regrinhas????
Esperem os próximos posts...

A006 - MMC e MDC

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O próprio nome já diz, é o cálculo do menor múltiplo comum entre dois ou mais números naturais.

Por exemplo: Se quisermos calcular o mínimo múltiplo comum de 40 e 30, devemos encontrar os seus respectivos múltiplos.

M(40) = 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240,...
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150,...

Observando os múltiplos encontrados, o menor múltiplo comum (não contamos com o zero) é o 120, portanto o mmc (40,30) = 120.

Existe outra forma de calcular o mmc, é um processo que fazemos uso da decomposição em fatores primos dos números e depois multiplicamos os valores primos encontrados na fatoração, veja:



Máximo Divisor Comum (MDC)

No mmc precisamos encontrar os múltiplos de um número e no mdc é preciso encontrar os divisores e depois encontrar o maior divisor comum entre eles.

Por exemplo: Para calcularmos o mdc de 50 e 15, devemos encontrar os seus respectivos divisores.

D(50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50.
D(15) = 1, 3, 5, 15.

Dentre os divisores de 50 e 15, o 5 é o maior divisor comum que eles têm, portanto o mdc (50,15) = 5.

O cálculo do mdc também pode ser realizado com a fatoração em fatores primos.



Portanto, concluímos que ao fatorar dois ou mais números, o cálculo do mdc será calculado com a multiplicação dos fatores primos comum aos termos.


FONTE: http://www.brasilescola.com/matematica/calculo-mmc-mdc.htm

Continue acompanhado nossos posts!!!

A005 - Múltiplos e Divisores

Os cálculos do mmc e do mdc são conteúdos que aprendemos no 6º ano do ensino fundamental, mas que muitos alunos chegam às séries mais avançadas sem saber como fazer tais cálculos.

Para o cálculo tanto do mmc e do mdc é necessário ter o conhecimento do que é os múltiplos e divisores de um número natural.

Múltiplos

Os múltiplos de 2 são os números contados de 2 em 2 a partir do 0.
Os múltiplos de 5 são os números contados de 5 em 5 a partir do 0.
45 é múltiplo de 5, pois existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 45 (5 x 9 = 45).

Exemplo:
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...
M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,...
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,...

Divisores

Para que um número natural seja divisível de outro é preciso, ao dividirmos os dois números, que o resto seja igual a zero. Não é necessário que efetuemos a divisão em alguns casos para que saibamos se é divisível ou não, podemos utilizar do critério de divisibilidade.

Exemplo:
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10,20
D(25) = 1, 5,25
D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100


FONTE: http://www.brasilescola.com/matematica/calculo-mmc-mdc.htm

Até a próxima!