Pensamento do Dia

"Trabalhe como se não precisasse do dinheiro. Ame como se nunca tivesse sido magoado. Dance como se ninguém estivesse a ver."



Satchel Paige,
jogador americano de beiebol,
1906 - 1982.

O Número 3 e os Provérbios

Existem diversos provérbios que envolvem o número três. Exemplos:

"Três vezes na cadeia é sinal de forca."

"Quem vai à festa três dias não presta."

"Três coisas mudam o homem: Vinho, estudo e mulher."

"Três irmãos, três fortalezas."

"Um é pouco, dois é bom, três é demais."

"O peixe deve nadar três vezes: em água, em molho, em vinho!"

"Por mal não se leva um português, por bem dois ou três."

"Fortuna de lobo três dias dura."

"Pão de quinze dias, fome de três semanas."

"A sebe dura três anos; o cão, três sebes; o cavalo, três cães; o homem, três cavalos; o corvo, três homens e o elefante, três corvos."

"O hóspede e o peixe aos três dias aborrecem."

"Três mulheres e um pato fazem uma feira."

Pensamento do Dia

"Otimismo é esperar pelo melhor.
Confiança é saber lidar com o pior."



Roberto Simonsen,
engenheiro, empresário,
político e historiador brasileiro,
1889 - 1965.

Invertendo e Subtraindo

Você sabia que a diferença de um número com o outro que obtemos escrevendo-o de trás para frente é igual a zero ou a um múltiplo de nove?

Veja alguns exemplos:

22 - 22 = 0
51 - 15 = 36 (múltiplo de 9)
444 - 444 = 0
998 - 899 = 99 (múltiplo de 9)
1350 - 0531 = 819 (múltiplo de 9)
654321 - 123456 = 530865 (múltiplo de 9)

Pensamento do Dia

"O mundo tornou-se perigoso,
porque os homens aprenderam a dominar a natureza
antes de dominarem a si mesmos."


Albert Schweitzer,
teólogo, músico, filósofo e médico alemão,
1875 - 1865.

Problema de Einstein

Quero lançar um desafio a todos os meus alunos
e também às outras pessoas que visitam esse blog.

Este curioso problema é atribuído a Albert Einstein,
que afirmou que apenas 2% da população mundial teria a capacidade de resolvê-lo.

Verifica se fazes parte desta pequena percentagem ?

1. Há cinco casas de 5 cores diferentes.

2. Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade.

3. Esses 5 proprietários que bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm um certo animal de estimação.

4. Nenhum deles tem o mesmo animal, fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida.

A questão é quem tem um PEIXE ?

DICAS:

I - O inglês vive na casa vermelha.

II - O sueco tem cachorros como animais de estimação.

III - O dinamarquês bebe chá.

IV - A casa verde fica à esquerda da casa branca.

V – O dono da casa verde bebe café.

VI - A pessoa que fuma PallMall cria pássaros.

VII – O dono da casa amarela fuma Dunhill.

VIII – O homem que vive na casa do centro bebe leite.

IX – O norueguês vive na primeira casa.

X – O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos.

XI – O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.

XII – O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.

XIII – O alemão fuma Prince.

XIV – O norueguês vive ao lado da casa azul.

XV – O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.

OBSERVAÇÃO: Se você preferir, clique aqui e faça o download desse desafio para responder no seu computador!!!

Pensamento do Dia

"Se queremos progredir,
não devemos repetir a história,
mas fazer uma história nova."



Mahatma Gandhi,
pacifista indiano,
1869 - 1948.

Pares de Quadrados Perfeitos

Os pares de quadrados perfeitos:

144 e 441, 169 e 961, 14884 e 48841

e suas respectivas raízes:

12 e 21, 13 e 31, 122 e 221, são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos em ordem inversa.

O matemático Thébault investigou os pares que têm esta curiosa propriedade.

Encontrou, por exemplo, a seguinte dupla:

1113² = 1.238.769 e 3111² = 9.678.321

Pensamento do Dia

"Se você quer ser bem sucedido, precisa ter dedicação total, buscar seu último limite e dar o melhor de si."



Ayrton Senna,
piloto brasileiro tricampeão de Fórmula 1,
1960 - 1994.

O que são números cíclicos?

Os números cíclicos são aqueles que multiplicados por outro número menor ou igual ao número de dígitos de que ele possui, seus números vão se repetindo ciclicamente, passando para o final aqueles que estão na frente.

Por exemplo: O primeiro número cíclico é o 142857. Se este número (que possui seis dígitos) for multiplicado pelos números de 1 a 6 obtemos:

2 x 142857 = 285714 (note que o 1 e o 4
oram passados para o final)
3 x 142857 = 428571
(o 1 passa para o final)
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142

Se multiplicarmos por 7 o que obtemos é 999999. Isto não é uma casualidade. Esse número (142857) é a parte periódica da divisão 1/7.

O próximo número cíclico é o 0588235294117647. Se multiplicarmos este número pelos números de 1 a 16 acontece o mesmo que com o anterior. Se o multiplicarmos por 17 resulta em 99999999999999999.

Esses números são raros de encontrar. Outra característica curiosa destes números é a forma que se pode obtê-los:

Pegamos um número primo e calculamos seu inverso (1/p). Se a parte decimal é periódica e o período possui tantos dígitos quanto o número primo menos 1, então este é um número cíclico. Quando dividimos 1/7 se obtém 0,142857142857142857. Note que é periódico e que o período possui seis dígitos.

Pensamento do Dia

"A glória deve ser conquistada;
a honra, por sua vez,
basta que não seja perdida."



Arthur Schopenhauer,
filósofo alemão,
1788 - 1860.

Pedido de Demissão (Mensagem)

Venho por meio deste, apresentar oficialmente meu pedido de demissão da categoria dos adultos. Resolvi que quero voltar a ter as responsabilidades e as idéias de uma criança de oito anos no máximo.

Quero acreditar que o mundo é justo e que todas as pessoas são honestas e boas. Quero acreditar que tudo é possível. Quero que as complexidades da vida passem desapercebidas por mim e quero ficar encantada com as pequenas maravilhas deste mundo.

Quero de volta uma vida simples e sem complicações. Cansei dos dias cheios de computadores que falham, montanha de papeladas, notícias deprimentes, contas a pagar, fofocas, doenças e necessidade de atribuir um valor monetário a tudo o que existe.

Não quero mais ter que inventar jeitos para fazer o dinheiro chegar até o dia do próximo pagamento. Não quero mais ser obrigada a dizer adeus ás pessoas queridas e, com elas, à uma parte da minha vida.

Quero ter a certeza de que Deus está no céu e de que, por isso, tudo está direitinho nesse mundo. Quero viajar ao redor do mundo no barquinho de papel, que vou navegar numa poça deixada pela chuva.

Quero jogar pedrinhas na água e ter tempo para olhar as ondas que elas formam. Quero achar que as moedas de chocolate são melhores do que as de verdade, porque podemos comê-las e ficar com a cara toda lambuzada.

Quero ficar feliz quando amadurecer o primeiro caju, a primeira manga ou quando a jabuticabeira ficar pretinha de frutas. Quero poder passar as tardes de verão à sombra de uma árvore, construindo castelos no ar e dividindo-os com meus amigos. Quero voltar a achar que chicletes e picolés são as melhores coisas da vida.

Quero que as maiores competições em que eu tenha de entrar sejam um jogo de bola de gude ou uma pelada. Quero voltar ao tempo em que tudo o que eu sabia era o nome das cores, a tabuada, as cantigas de roda, a "Batatinha quando nasce..." e que isso não me incomodava nadinha, porque eu não tinha a menor idéia de quantas coisas eu ainda não sabia.

Quero voltar ao tempo em que se é feliz, simplesmente porque se vive na bendita ignorância da existência de coisas que podem nos preocupar ou aborrecer.

Quero acreditar no poder dos sorrisos, dos abraços, dos agrados, das palavras gentis, da verdade, da justiça, da paz, dos sonhos, da imaginação, dos castelos no ar e na areia. Quero estar convencida de que tudo isso... vale muito mais do que o dinheiro!

A partir de hoje, isso é com vocês, porque eu estou me demitindo da vida de adulto!

Demita-se você também dessa sua vida chata de adulto, mandando esta mensagem para todos os seus amigos, principalmente os mais sérios e preocupados.

NÃO TENHA MEDO DE SER FELIZ!!!

Autoria: Conceição Trucom

V005 - Função Inversa

No vídeo a seguir,
assista a uma teleaula
sobre Função Inversa
e tire suas dúvidas
quanto ao assunto!!!

V004 - Função Composta

No vídeo a seguir,
assista a uma teleaula
sobre Função Composta
e tire suas dúvidas
quanto ao assunto!!!

DV005 - Jogos de Raciocínio e Lógica

Aqui vão os links para vocês fazerem o download de vários jogos para computador de raciocínio e lógica matemática.
Espero que vocês se divirtam muito!

OBS.: Ao clicar no jogo de sua preferência, automaticamente irá abrir uma janela para que você possa salvar. O arquivo está em formato "WinRar"!!!

* Batalha Naval (Monte sua estratégia)

* Canibais X Jesuítas (Problema de lógica matemática em flash. Divirta-se)

* Come (Jogue o come, come um jogo clássico)

* Damas (Jogue damas contra o computador)

* Xadrez (Jogue xadrez contra o computador)

* Teste de QI, de Einstein (As pessoas que consegiram resolver esse problema em menos de 24h tem o QI acima da média)

* Tangram (Montagem de quebra cabeças com tangram - programa "necessário instalação")

M015 - Paixão Matemática

Quisera ter você...
Para adicionar à minha vida
Subtrair nossos sofrimentos
Multiplicar nossas emoções
E dividir nossos momentos
Junto a ti serei conjunto

Razão e proporção
Progressão aritmética
A mais complexa equação

Tu és a raiz exata
Eu, o quadrado perfeito!
Vivo em função de ti
Meu perímetro de vida
Meu mais puro e nobre conceito
Tu és meu número real
A grandeza proporcionalmente direta
E nas minhas noções de probabilidades
Você é a resultante mais certa.

Autor: Paulo Roberto Paixão Silva

Fonte: http://www.somatematica.com.br/poemas/p64.html

M014 - Frases Matemáticas (Parte II)

A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número inteiro existe sempre um outro. (J. Tannery)

Sem os recursos da Matemática não nos seria possível compreender muitas passagens da Santa Escritura. (Santo Agostinho)

A Matemática possui uma força maravilhosa capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. (SÃO JERÔNIMO)

Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. (Amoroso Costa)

A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida. (Jacques Bernoulli)

Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial. (Pascal)

A Matemática é a honra do espírito humano. (Leibniz)

N019 - Conteúdos da Prova

Clique nos links abaixo e acesse os conteúdos da prova de Matemática da II Unidade que foram postados neste blog.

- Domínio de uma Função

- Função Composta

- Função Inversa

Bons estudos!!!

N018 - Semana de Reensino II Unidade

Atenção para as NOVAS datas das provas da Semana de Reensino da II Unidade:

Segunda, dia 21:
- Biologia
- Educação para o Trabalho
- Sociologia

Terça, dia 22:
- Química
- História
- Filosofia

Segunda, dia 28:
- Português
- Artes
- Física

Terça, dia 29:
- Matemática
- Educação Física
- Inglês
- Geografia

A025 - Função Inversa

FUNÇÃO INVERSA

Para determinarmos se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f–1 da seguinte maneira: (x,y) Є f -1 ↔ (y,x) Є f.


Dado os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função A→B definida pela fórmula y = 2x – 1, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f ^-1: B→A definida pela fórmula x = (y-1)/2. Veja o diagrama abaixo:

Então: f ^-1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f ^-1 e vice e versa.

Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos.

Dada a função y = 3x – 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira:

1º passo: isolar x.
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5)/3

2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a letra x.

y = (x + 5)/3


Portanto, a função f(x) = 3x – 5 terá inversa igual a f ^–1 (x) = (x + 5)/3

Exemplos 1

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Isolando x:
y = x²
√y = x

Invertendo x por y e y por x:
y = √x

Portanto, f ^–1(x) = √x


Exemplo 2

Dada a função , a sua inversa será:

Nessa resolução iremos seguir o processo contrário, veja:

Trocando x por y e y por x:



Isolando y:

x (3y – 5) = 2y +3
3xy – 5x = 2y + 3
3xy – 2y = 3 + 5x
y (3x – 2) = 3 + 5x




Portanto, a função inversa da função será f ^-1(x) = .

A024 - Função Composta

FUNÇÃO COMPOSTA

A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por g o f.

Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5
g(4x) = (4x)² + 5
g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5



b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = 4x
f(x² + 5) = 4 * (x² + 5)
f(x² + 5) = 4x² + 20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20


Exemplo 2

Vamos determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1.


(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = 4x² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 15

(g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15



(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = x + 2
f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2
f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2
f(4x² – 1) = 4x² + 1

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1

A023 - Domínio de uma Função

As funções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de existência:

Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio.

Uma expressão y = f(x) associando os valores de x e y, formando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio.

Através de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada.

a)

Nesse caso o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática.
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≠ 1} = R – {1}.

b)

Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo.
4x – 6 ≥ 0
4x 6
x ≥ 6/4
x ≥ 3/2
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≥ 3/2}