A016 - Fração Geratriz

Primeiro vamos falar o que é uma dízima periódica.
Dizima periódica é a parte decimal infinita (não tem fim), pois repete igualmente. Por exemplo: 0,22222.... ; 2,5656565656.... ; 0,2555... .

Esses números podem ser escritos em forma de fração, mas apesar de serem números decimais na sua transformação utilizaremos um processo diferente. A fração que dá origem às dízimas periódicas são chamadas de frações geratrizes. Acompanhe o raciocínio:


Exemplo 1:
Vamos transformar 0,2222... em fração. Pra isso chamaremos a dízima de X:

X = 0,2222... (I)

Devemos eliminar as casas decimais. Para isso andaremos com a vírgula para a direita uma casa decimal, pois apenas o 2 que repete. Isso é o mesmo que multiplicar o 0,2222... por 10. Ficando assim:

10 . X = 2,2222... (II)

Temos duas equações (I) e (II). Iremos subtrair as duas:

(II) – (I)


Como X = 0,2222.... , então 0, 2222.... é o mesmo que
Se dividirmos 2 : 9 chegaremos a 0, 2222.... .


Exemplo 2:
Temos a dízima 0, 636363...

X = 0,636363.... (I) andando com a vírgula duas casas para a direita, pois o número que
repete nas casas decimais é o 63.

100 . X = 63,636363.... (II) andar duas casas para a direita é o mesmo que multiplicar
por 100.

Subtraindo as duas equações (II) e (I) encontradas:



Como X = 0,636363... então 0,636363... é o mesmo que

Exemplo 3:
Temos a dízima 2,35555... nessa percebemos que na parte decimal temos apenas o 5.

X = 2,35555...

Como o 3 não faz parte da dízima devemos multiplicar a equação por 10 para que o número 3 passe pro outro lado deixando nas casas decimais apenas a dízima.

10 . X = 23,5555... (I)
Agora, multiplicamos a equação (I) por 10 novamente para que possamos cancelar a parte decimal.

10 . 10 . X = 235,5555...
100 X = 235,5555... (II)

Subtraindo as equações (II) e (I), teremos:



Como X = 2,35555... então 2,35555... é o mesmo que

FONTE: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/transformacao-para-numeros-fracionarios.htm